포물선 운동 실험

1.실험 목적

중력을 받아 포물선 운동하는 포사체의 운동을 이해하고, 위치에너지와 운동에너지의 보존을 이해한다.

2.실험 이론

그림.1 중력의 영향을 받는 물체의 운동

일정한 가속도를 가지고 평면내에서 운동하는 예의 하나가 포사체가 운동이다. 이것은 공중으로 비스듬하게 던진 입자가 가지는 2차원의 운동이다. 이운동에서의 공기의 저항은 무시할수 있다고 가정한다.

포사체운동은 수직(y축)으로 일정한 가속도 g의 운동을하고, 수평(x축)으로 등속운동 즉, 가속도가 0인 운동을 한다. 각각의 성분은

[eqn: v_x = v_0 cos theta]        [eqn: v_y =v_0 sin theta -gt]

이다. 여기서 수평성분(x축)은 초기값을 그대로 유지하고, 수직성분(y축)은 자유낙하운동에서와 같이 변한다. 그리고, 각방향에 대한 운동은 서로 독립적인 것이다.

임의의 순간에서의 합성된 속도 벡터는

[eqn: v= SQRT { (v_x )^2 +(v_y )^2}]

이된다. 이 때 두 성분이 이루는 각은

[eqn: tan psi = v_y over v_x]

가 된다. 임의의 시간에서 각좌표의 위치는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: x= (v_0 cos theta )t]        [eqn: y=( v_0 sin theta )t- 1 over2 gt^2]

t를 소거한 x 와 y의 함수는 다음과 같이된다.

[eqn: y=(tantheta)x- g over{2v_0 ^2 (cos theta)^2}x^2]

이식을 x,y 좌 표상에서의 포사체 궤도방정식 이라한다.

수평방향의 도달거리 R를 구하여보면 먼저 y를 0으로 놓는다. 이것은 높이가 0이되는지점 즉 발사높이로 되돌아오는 지점이다. 그러면

[eqn: 0=x[(tantheta)- g over{2v_0 ^2 (cos theta)^2}x]]

가되고, 두 개의 해는

x= 0,  [eqn: R= {v_0 ^2 2cos thetasin theta } over g ={v_0 ^2 over g sin2theta}]

가된다. 수평도달거리는 R이고, [eqn: theta] 를 제외한 모든값이 상수이다. 그리고,[eqn: theta]가 45[eqn: DEG]이때 최대값이된다.

수평 도달거리는

[eqn: x=R ={v_0 ^2 over g sin2theta}]

수직 도달높이는 (1)식에서 [eqn: v_y]가 0이 되는 높이가 된다.

[eqn: y = h = {(upsilon _0 sin theta) ^2 }over2g]

그리고, 발사지점 보다 더 낮은 높이에 도달하때는 발사지점과 낮하지점의 높이차를 측정해서 (5)식의 y값를 음의 값으로 해서 대입하면

[eqn: -y=(tantheta)x- g over{2v_0 ^2 (cos theta)^2}x^2]

또위의 포사체운동에서는 운동에너지보존이 성립한다.

만약 자유낙하운동인 경우 다음식이 성립한다.

[eqn: m g h_max = 1 over 2 m v_0^2]

3.실험 방법

1) 공의 초기 속도 결정(포토게이트 사용)

(1)발사 총에 두개의 포토게이트를 단다.

(2)공이 수직이 되도록 발사 총을 설치한다.

(3)포토게이트 타이머를 가동시켜 발사된 공이 두 포토게이트를 지나는 순간의 시간차를      잰다. 또 두지점을 통과하는데 걸리는 시간을 측정한다.

(4)공을 3회 발사한후 이시간의 평균값을 구한다.

(5)발사 강도를 달리하여 실험을 되풀이 한다.

2)발사각에 따른 비행거리의 변화-포물선 운동

(1)발사장치를 [eqn: DEG]설치한다.

(2)발사각을 45 로 발사총을 조절한다.

(3)발사총에 금속공을 넣고 중간정도로 시험 발사하여 공이 떨어지는 곳을 확인한다.

(4)공이 떨어진 속에 흰 종이를 붙이고 다음 먹지로 덮는다.

(5) 공을 5번 쏘아 평균 도달거리를 기록한다.풀이 한다.

(7)이 실험 결과를 가지고 발사각에 따른 도달거리의 변화를 보여주는 그래프를 그린다.

*여기서 이론상의 거리 ([eqn: v_x = v_0 cos theta TIMES t])와 실험에서 자로측정한값과 비교해본다.

3)역학적 에너지보존

(1)총구의 발사방향을 90[eqn: DEG]로한다.

(2)발사후 최고 도달거리를 잰다.

(3)발사시 운동에너지와 최고도달높이에서의 운동에너지를 구해서 비교한다.

포토게이트 타이머 설치 방법

포토게이트를 연결 단자와 포토게이트 타이머의 1번단자를 연결잭을 사용하여 연결한다.

포토게이트를 연결 단자와 포토게이트 타이머의 2번에 연결한다.

설정모드는 [eqn: PROD]에 놓는다.

발사하기 전에, Rest를 누르고, Start를 누른다. 그리고, 수레를 놓는다.

LED화면에 <- Preview 또는 Next -> 가 표시되면, 경과 시간이 제대로 저장된 것이다.

이때, Preview 또는 Next 버튼을 누르면, 그 데이터가 표시된다.

4.실험 결과

실험1) 0도로 발사 했을 때 공의 초기속도 결정(단, 발사대의 높이 25cm)

1회	42cm	평균 약40.7cm
2회	39cm
3회	40cm

떨어질 때 까지의 시간: m/s = m/s

초기속도: 약 185cm/s

실험2)발사각에 따른 비행거리의 변화 - 포물선 운동

이론상 거리[eqn: v_x = v_0 cos theta TIMES t]와 실제 자로 측정한 값을 비교해본다.(본 실험에서는 45°일 때

각도	횟수	포토게이트간의 이동 시간	포토게이트와 받침대까지의 이동 시간	이동 거리
45°	1회	0.048s	0.339s	65.5cm
	2회	0.047s	0.339s	65.5cm
	3회	0.047s	0.341s	66cm
	4회	0.047s	0.347s	67.5cm
	5회	0.048s	0.355s	66.5cm

(1) 45°일 때, V0 는 약 208cm/s  이다.

각 도	이론상 거리	실제 거리
45°	58.6cm	66.2cm

실험3) 역학적 에너지 보존 mgh = 1/2mv02 (수직으로 발사했을때.)

h = (v0sinθ)2/2g  또는 직접 측정 한다. (m은 1kg으로 가정한다.)

= 17.461 cm

	h = (v0sinθ)2/2g 일때	실제 측정 높이 일때
높이	17.461cm	16cm
mgh	1.71118J	1.568J
1/2mv02	1.71125J	1.71125J

5.토의 및 결과

이번 실험은 실험3의 역학에너지보존을 알아보는 1번 실험과 발사각에 따른 비행거리의 변화를 이론과 실험을 통해 같음을 알아보는 2번 실험 그리고 마지막으로 역학에너지 보존의 이론과 실험의 같음을 알아보는 3번 실험으로 나뉘어 져있었습니다. 우선 1번 실험은 0도로  쏠 때의 물체의 속력을 구하는 것이기 때문에 별로 문제가 되지 않았습니다. 하지만 2번에서 실험결과 이론상 값이 다르게 나온 이유를 생각해본 결과 우선 공이 먹지위에 떨어지면서 그 충격에 의하여 떨어진 위치를 측정하는 종이를 움직이게 하였고 정확하게 측정하자면 발사 높이와 떨어지는 높이가 같아야하지만 발사대의 발사높이가 떨어지는 지점의 높이보다 약 25센티미터 정도 차이가 나기 때문에 이 같은 오차가 발생하였을 거라고 생각합니다. 마지막 실험인 역학적 에너지 보존 실험역시, 실험 1에서 구한 초속도를 이용하여, 높이를 구할 때와 직적 측정하여 높이를 재 봤을 때의 측정값이 달랐습니다. 각각의 높이에 대응되는 에너지 비교결과, 이론값보다 측정값이 약간 작게 나옴을 알았습니다.